摘 要： 對給定的白噪聲" title="白噪聲">白噪聲序列進行小波" title="小波">小波分解重構" title="重構">重構，去除序列中的框架及近似成分；通過比較原序列與重構序列之間自相關函數的差異是否顯著來檢驗原假設；模擬實驗對傳統檢驗方法與小波分析" title="小波分析">小波分析方法進行了比較，實驗表明后者有更強的檢驗效果。
關鍵詞： 白噪聲序列 假設檢驗" title="假設檢驗">假設檢驗 顯著水平 小波分析 自相關函數
白噪聲序列在應用時間序列分析中有著重要的作用，例如在判斷為數據建立的統計分析模型是否合理時，對模型的殘差進行白噪聲檢驗是判別模型合理性的重要依據。另外，在信息安全領域，物理白噪聲在隨機數產生方面有重要應用[1]，其中包括對白噪聲序列的檢驗問題。因此，如何提高白噪聲序列的檢驗功效，值得研究。
由于在時、頻域同時具有良好局部化的特性，使得小波分析(也稱為多分辨分析)在很多領域得到越來越廣泛的應用。本文應用小波分析，通過小波分解系數的特點抑制白噪聲信號(即序列)中所含的弱相關信號或者成分來滿足檢驗功效更強的要求。實驗表明，本文提供的白噪聲序列小波分析方法與傳統檢驗方法相比，檢驗功效較高。
1 小波分析原理
下面具體介紹本文應用Mallat快速小波變換的小波分解重構原理[2]：
設{x(n),n=1,2,…，N}是所給待檢驗的序列，經Mallat快速小波分解M層(本文小波函數選擇db3小波，M=6)后，得到M+1組數據
{d(1,k)},{d(2,k)},…,{d(M,k)},{a(M,k)}
其中{d(j,k)}表示細節成分的系數序列；j=1,2,…，M表示尺度；k=1,2，…，N/2j表示序列長度；{a(M,k)}表示信號輪廓或近似成分(本文稱為弱相關信號或成分)。
白噪聲序列經Mallat變換分解后的系數仍是白噪聲序列[3]，并隨著分解層次的增加而迅速衰減。所以隨著層次的增加，噪聲序列的影響越來越小，而弱相關信號的影響越來越明顯。同時，在各個層次細節成分系數中也可能有弱相關成分，故對經小波分解后的M+1組數據可以分別進行如下處理：
(1)將{a(M,k)}的絕對值與閾值[4]比較，大于閾值的系數賦為零，然后按照Mallat重構算法得到重構序列{x′(n),n=1,2,…，N}。
(2)對每一層的細節成分系數列{d(j,k)}進行自相關函數估計，并使用下面檢驗原理中的傳統檢驗方法進行假設檢驗。對于不滿足原假設H0的某層系數列值也要與閾值比較，絕對值大于閾值的系數賦為零，而其它層系數列保持不變，然后按照Mallat重構算法得到重構序列{x′(n),n=1,2,…，N}。
由于(2)中計算量較大，為便于計算說明本文的原理，筆者只采用(1)中的處理方法對原序列進行小波分解重構，并設閾值為零。
2 檢驗原理
本文用到的白噪聲序列均假設為WN(0，δ2)[5]序列。
2.1 傳統白噪聲檢驗方法[5]
傳統的白噪聲序列檢驗方法只針對待檢驗序列是否滿足原假設進行檢驗，即：
原假設H0:{x(n)}是獨立白噪聲
否定假設H1:{x(n)}是相關序列
是否成立，其中λα是給定顯著水平為α，自由度為m的χ2分布臨界值。
2.2 白噪聲檢驗小波分析方法
設給定的序列為{x(n),n=1,2,…,N}，經小波變換后所得的序列為{x′(n),n=1,2,…,N}。若原序列是一獨立白噪聲，那么經小波分解重構后的序列也應滿足獨立白噪聲序列條件[3]，反映在自相關系數關系上應大致相等，也就是說這兩個序列自相關系數之比應十分接近1，即
其中, {ρk,k=1,2,…,m}是原序列自相關系數，{ρk′,k=1,2,…,m}是小波分解重構后的自相關系數。
根據上述分析，可以得到以下的檢驗方法：
原假設H0：{x(n)}與{x′(n)}的自相關函數無顯著差異。
否定假設H1：{x(n)}與{x′(n)}的自相關函數有顯著差異。
上面的假設檢驗表示原序列中是否含有一個趨勢信號或相關信號，所以以上假設等同于如下假設：
原假設H0：{x(n)}是獨立白噪聲。
否定假設H1：{x(n)}是相關序列。
3 模擬結果
本模擬計算中的數據來自以下AR(2)模型[5]的N=512個觀測。
Xn=2βcos(θ)Xn-1-β2Xn-2+εn
對于θ=1.13和不同的β均進行300次獨立重復試驗。用p表示300次獨立重復試驗中否定H0的比例。β=0表示觀測數據是白噪聲。本試驗取m=5, α=0.05。
β= 0 1/10 1/6
傳統檢驗 p= 4.3% 19.1% 49.0%
本文檢驗 p= 4.5% 20.1% 51.8%
β= 1/4 1/3 1/2
傳統檢驗 p= 90.2% 100% 100%
本文檢驗 p= 93.4% 100% 100%
不難看出，本文檢驗的效果總體上比傳統的要好，也就是說本文的檢驗功效比傳統檢驗功效高。
在白噪聲序列檢驗中，如果序列中有弱相關信號或成分會被淹沒在噪聲中，無法判斷這些弱相關成分是噪聲的隨機因素產生的，還是一種相關成分。小波分析能夠把這部分成分分離，通過比較重構后的序列與原序列的自相關函數是否有顯著差異來判斷序列的噪聲特性。如果原序列是白噪聲序列,那么弱相關成分就是由噪聲的隨機因素產生的，反之就判斷為相關成分。故這種檢驗方法比傳統檢驗方法更有效，模擬實驗也證明了檢驗功效更高。
但序列的Mallat小波分解重構過程中還有值得探討和改進的地方，例如各層系數相關成分的閾值確立及小波函數的選擇都會對檢驗效果產生影響，尤其是小波分解所產生的邊緣效應對檢驗效果的影響還有待進一步研究。
參考文獻
1 B. Schneier. Applied Crytography: Algorithms and Source Code in C. Jone Wiley & Sons, 1994:301～307
2 李弼程，羅建書. 小波分析及其應用. 北京：電子工業出版社, 2003:28～40
3 S. Mallat, Sifen Zhong. Characterization of Signals from Mul-tiscale Edges. IEEE Trans. on PAMI,1992;14(7)
4 D. L. Donoho. De-noising by soft-thesholding, IEEE Tans. On Information Theory,1995；41(3):713～727
5 何書元.應用時間序列分析.北京：北京大學出版社，2003:139～143
6 中山大學數學力學系《概率論及數理統計》編寫小組.概率論及數理統計(下冊). 北京：高等教育出版社，1980:16～28