兩輪不平衡小車是一個(gè)集環(huán)境感知、動態(tài)決策與規(guī)劃、行為控制與執(zhí)行等多種功能于一體的綜合系統(tǒng)。它的動力學(xué)方程是一個(gè)多變量、耦合、時(shí)變的非線性高階方程，加上運(yùn)動學(xué)方程中的非完整約束，使它成為一個(gè)具體的、實(shí)現(xiàn)起來相對簡單的系統(tǒng)。近年來，兩輪不平衡小車作為一個(gè)理論與實(shí)踐相結(jié)合的系統(tǒng)，受到高度重視，它是檢驗(yàn)各種控制方法處理能力的典型裝置[1]。針對以往[2]通過反饋線性化得到小車系統(tǒng)的線性模型，然后在指數(shù)趨近律基礎(chǔ)上進(jìn)行變結(jié)構(gòu)控制的方法，消抖效果并非很好，而且在削弱系統(tǒng)抖振的同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力。為此，本文首先基于飽和特性的準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)出了常規(guī)切換面滑模控制器和動態(tài)切換面滑模控制器。該控制器較以前的方法更有效地削弱了系統(tǒng)的抖振；然后通過給飽和特性的準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近律中加入擾動跟蹤項(xiàng)，設(shè)計(jì)出了帶擾動跟蹤項(xiàng)的動態(tài)切換面準(zhǔn)滑模控制器。該控制器不僅很好地削弱了系統(tǒng)抖振，增大了系統(tǒng)的可控范圍,更重要的是很好地保證了系統(tǒng)的魯棒性。
1 小車系統(tǒng)建模及其反饋線性化  
    設(shè)電機(jī)的力矩系數(shù)為km，反電動勢常數(shù)為ke，電機(jī)電阻為R，轉(zhuǎn)子慣量為J，接入減速箱的減速比為kj;小車車體質(zhì)量為Mp，車輪及軸的質(zhì)量為Mw，車體質(zhì)心到車體轉(zhuǎn)動中心距離為l，車輪半徑為r，車體轉(zhuǎn)動慣量為Ip，車輪及軸轉(zhuǎn)動慣量為Iw，重力加速度為g，車輪水平位移為x1，水平速度為x2，車體偏離垂直方向的角度為x3，偏離垂直方向角加速度為x4，整個(gè)系統(tǒng)的輸入即電機(jī)的輸入電壓為u。
    取狀態(tài)變量X[x1 x2 x3 x4]T，將電機(jī)的輸入電壓u作為控制信號。為了便于研究，把系統(tǒng)看作線性化的單輸入單輸出系統(tǒng)。由于角度對系統(tǒng)的影響最大，所以將角度x3作為輸出，它可由傾角傳感器測得[1]。根據(jù)力學(xué)建模得到系統(tǒng)的非線性方程為[3]：

    則小車的局部線性化模型可簡記為：

 
    顯然，動態(tài)切換面是在常規(guī)切換面中加入與控制輸入有關(guān)的Tv0項(xiàng)，使得不連續(xù)切換項(xiàng)M0sat(HX/Δ)轉(zhuǎn)移到控制的一階導(dǎo)數(shù)v0中。因?yàn)榭刂苪中不存在不連續(xù)切換項(xiàng)，所以有效地降低了抖振。
2.3 帶擾動跟蹤的動態(tài)滑模控制器的設(shè)計(jì)
    由于以往的方法在消抖的同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力，而擾動的存在會惡化系統(tǒng)的性能。在滑模控制中，擾動會使本來位于滑動面的運(yùn)動偏離滑動面。從幾何學(xué)角度可以將該擾動分解為兩個(gè)方向：沿滑動面的切線方向和垂直于該切線的法線方向。從物理學(xué)角度,分解在沿滑動面切線方向的擾動將給系統(tǒng)一個(gè)繼續(xù)沿滑動面運(yùn)動的加速度，它對系統(tǒng)的影響不大；而分解在垂直于滑動面方向的擾動會給系統(tǒng)一個(gè)垂直滑動面方向的加速度，也就是擾動引起系統(tǒng)在滑動面垂直方向上產(chǎn)生遠(yuǎn)離滑動面的加速度，使系統(tǒng)脫離滑動面。為了避免擾動造成系統(tǒng)運(yùn)動偏離滑動面過大，本文在飽和特性的指數(shù)趨近律中加入擾動動力跟蹤項(xiàng)來減小系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑動面運(yùn)動的加速度，以增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。


3 仿真比較[8]
    由maxon電機(jī)手冊得到：額定電壓為30 V,力矩系數(shù)km=0.0389 Nm/A,電機(jī)電阻R=1.23 Ω, 轉(zhuǎn)子慣量J=0.000 065 5 kgm2，反電動勢常數(shù)ke=1/246=0.004 065 V/rpm,接入減速箱的減速比kj=33,測量得小車車體質(zhì)量為Mp=10.36 kg，車體質(zhì)心到車體轉(zhuǎn)動中心距離l=0.2 m,車輪及軸質(zhì)量Mw=0.4 kg，車輪半徑r=0.06 m，車輪及軸轉(zhuǎn)動慣量Iw=0.000 36 kg·m2，車體轉(zhuǎn)動慣量Ip=0.037 59 kg·m2，取重力加速度g=9.81 N/kg。
3.1 可控范圍的比較
    取M0=20，k=10，T=0.5，G=0.3,在小車位置、速度、角速度全都為0的情況下,通過不斷變換角度初始值，觀察控制電壓為額定值時(shí)的角度值即為小車在此控制器下的最大可控傾角。仿真得到如表1所示的三種控制器的最大可控傾角。
    由表1可以看出，系統(tǒng)在帶擾動跟蹤項(xiàng)的動態(tài)切換面滑模控制器作用下的可控角最大，動態(tài)切換面準(zhǔn)滑模控制器次之，而常規(guī)切換面準(zhǔn)滑模控制器作用下系統(tǒng)的可控角最小。下面對三種控制器控制效果的比較都在其傾角可控范圍內(nèi)。

3.2 系統(tǒng)抖振的比較
    根據(jù)變結(jié)構(gòu)理論：系統(tǒng)運(yùn)動在滑模區(qū)時(shí)，其特性和參數(shù)只取決于切換函數(shù)而與其他無關(guān)，即滑模具有完全魯棒性。但伴隨滑模的運(yùn)動,系統(tǒng)會出現(xiàn)抖振，這種高頻振動會嚴(yán)重影響系統(tǒng)的性能。下面就上文所設(shè)計(jì)的三種不同控制器作用系統(tǒng)時(shí)所產(chǎn)生的抖振進(jìn)行觀察比較。
    仍取初始狀態(tài)X=[0  0  0.45  0]T，其他參數(shù)不變，在三種不同控制器控制作用小車角度在10 s內(nèi)的響應(yīng)曲線如圖1示。    

    由圖1可看出，在三種不同控制器的作用下，系統(tǒng)的位置、速度、角速度以及控制u響應(yīng)曲線都有圖1所示的特性，即動態(tài)切換面滑模控制器比常規(guī)切換面滑模控制器在消抖方面有明顯的優(yōu)勢，而帶擾動跟蹤的動態(tài)切換面滑模控制器比不帶擾動跟蹤的動態(tài)切換面滑模控制器在消抖方面有明顯的優(yōu)勢。
3.3 系統(tǒng)抗干擾性比較
    設(shè)小車位于平衡狀態(tài)X=[0  0  0  0]T處，給系統(tǒng)的控制輸入端u處加入幅值為5的隨機(jī)干擾信號，在上述三種不同控制器作用下小車速度在3 s內(nèi)的響應(yīng)曲線如圖2示。

    由圖2可看出，對于系統(tǒng)角度，動態(tài)切換面滑模控制器作用下系統(tǒng)的抗干擾能力比常規(guī)切換面滑模控制器作用下系統(tǒng)抗干擾能力弱很多，但是通過增加擾動跟蹤項(xiàng),可使動態(tài)切換面滑模控制器的抗干擾能力又得以顯著地增強(qiáng)。
    大量仿真曲線表明：對于相同的趨近律，與常規(guī)切換面滑模控制器相比，動態(tài)切換面滑模控制器雖然顯著地削弱了系統(tǒng)的抖振，但同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力。而通過給趨近律中加入擾動跟蹤項(xiàng)設(shè)計(jì)的帶擾動跟蹤的動態(tài)滑模控制器作用系統(tǒng)時(shí)，不僅顯著地削弱了系統(tǒng)的抖振，而且保留了常規(guī)切換面滑模控制器較強(qiáng)的抗干擾能力。由此可見，擾動跟蹤項(xiàng)不但很好地補(bǔ)償了變結(jié)構(gòu)控制的抖振缺陷，而且還實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)對擾動的不變性，增大了系統(tǒng)的可控范圍。
    本文針對反饋線性化得到的小車系統(tǒng)線性模型，設(shè)計(jì)了基于常規(guī)切換面和動態(tài)滑模切換面的準(zhǔn)滑動模態(tài)變結(jié)構(gòu)控制器，并在此基礎(chǔ)上通過給控制u中加入擾動跟蹤項(xiàng)，設(shè)計(jì)出能同時(shí)削弱抖振和保證系統(tǒng)抗干擾能力的控制器，實(shí)現(xiàn)了小車的穩(wěn)定控制。通過仿真比較可以看出，與常規(guī)切換面控制器作用相比，在基于動態(tài)切換面控制器作用下系統(tǒng)的可控范圍較大、抑制系統(tǒng)抖振能力強(qiáng)，但同時(shí)系統(tǒng)的魯棒性變差，即在削弱系統(tǒng)抖振的同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的魯棒性。而通過給控制u中加入擾動跟蹤項(xiàng)使系統(tǒng)抗干擾能力顯著增強(qiáng)，即具有擾動跟蹤的動態(tài)滑模控制器不僅更好地削弱了系統(tǒng)的抖振，同時(shí)還保證了滑模對擾動的不變性，實(shí)現(xiàn)了滑動模態(tài)魯棒性和消除抖振的統(tǒng)一。
參考文獻(xiàn)
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